ケリー基準の計算例

それではケリー基準を計算例でみてみましょう。次の図は開始時の資金を10,000円、n=10回の投資を、 R1=R2=0.2、p=0.7という条件で行い、 手元に残った資金の最頻値(ケリー基準(－〇－))と期待値(－▲－)を計算したものです。ケリー基準の式よりx=2のときに最頻値が最大になるとの結果が得られますが、 x≦1なので最頻値、期待値ともに0≦ x≦1の範囲では単調増加となっています。

また次の図は同じく開始時の資金10,000円、n=10回の投資をR1=0.5、R2=1、p=0.8の条件で行った例で、 この場合は手残り資金の最頻値はx=0.4のとき最大となっていて、利益が最大になることが見て取れます。ただし期待値の方は単調増加しています。


このように、最頻値が最大値を持つのに期待値は持たない理由は、ケリー基準の式で負けたときの項(1-R2x)の中身が０に近いと 全体としても0に近くなるのですが決して負にはなりません。つまり元の資金以上に負けることはないのです。
一方で勝ったときの項 (1+R1x)が1より大きいと、勝ちの回数が多いときには元の資金の何倍にも増えます。 起きる確率は小さくても増加量が大きいため全体の平均値、つまり期待値を引き上げてしまうのです。 ケリー基準でxが最大値を持つのは、最頻値を考えた場合だけで、バラツキを含めた平均値である期待値はそうはならないのです。

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